アキレスと亀問題 
最近、2000年以上前に出された問題を解いてみた。
ゼノンのパラドックス、まあ、一般には、アキレスと亀問題と言われているクイズである。アキレスと亀が競走をした。まあ、アキレスの方が足が速いので、亀がいくらかのハンデをもらって、前からスタートしたのね。で、アキレスが亀がスタートした地点まで行ったら、当然、時間が経ってるわけだから、亀もいくらか進んでる。で、またそこまで行ったら、また亀も進む。ってことは、いつまで経ってもアキレスは亀に追いつけねえんじゃねえの？、というのがゼノンが出した問題である。
もちろん、現実にはそんなことはない。アキレスが亀を追い越すなんてことは、現実としては起こる。でも、理屈からいったら追いつけねえじゃん、どこがおかしいか言ってみろよ、というなかなか意地の悪い問題である。実はこの問題を解くのには1500年以上時間が必要であった。というのも、そのころあった数学では、これを解く概念がなかったからだ。これが数学的に解けるようになるには、ニュートンとライプニッツが発明した「微分・積分」の登場を待つしかなかった。あの高校の数学で出てくる、微分・積分である。これがなかなか理解できない、って文系の人も多いアレである。まあ、それによって、一応数学的に解けた、ということになっている。
のだけど、実は俺はこれにずっと疑問を持っていた。俺は自分の自伝的小説の中で「微分・積分が理解できない」と書いている。そこでは詳しく説明しなかったのだけど、いや、表面的な概念だったら、5分で分かったのよ。でも「なんでこれが必要なのか？」がずっと分からなかった。そこまで分かってないと「理解した」といえねえじゃん。で、ひさしぶりにヒマができたので高校以来、この問題を考えてみる気になったわけ。
で、結論としては、「微分・積分では、アキレスと亀問題を解いたとはいえない」ってのがハッキリ分かった。なんでかというと、微分・積分には大きな欠点がある。それは「自然界の数値は近似値としてしか扱うことができない」という自然科学の大原則を無視しているからである。アキレスと亀問題では、距離、速度、時間という数値が重要になってくるが、これらはすべて現実の数値、もっといえば「自然界の数値」なのである。であるから、計算を行う場合は近似値計算を行うしかない。で、近似値を扱う場合の守らなければいけない条件は「範囲を逸脱せず、精度が適切であること」である。しかしアキレスと亀が近づけば近づくほど、この条件を満たすことができなくなってくる。ということは数学的には「計算不能」が正解となる。それを補うために微分・積分という概念を導入したのだが、この概念は「近似値である」ということを無視することによって成立する。つまり、頭の中の論理的に抽象化されたアキレスと亀には対応できるが、現実のアキレスと亀には対応できないわけだ。ってことは、問題を変えちゃったわけだから、解いたとはいえない、ってわけ。俺がテストの採点する立場だったら「問題をよく読みましょう」って０点だな。
このアキレスと亀問題ってのは、一見数学的な問題として見えるのだけど、実は数学的には解けない、ってのが本当に難しいトコだね。数学だって、できることの限界、があるわけでさ。大体、ゼノンがこの問題を考えたのは、0や四則演算さえない時代なんだから、解くんであればゼノンと同じ条件で解くしかない。つまり近代数学の概念のほとんどが使えないわけ(当然、「無限」も使えません。大体、0による除算は計算不能、って数学でも決まってるじゃん)。ゼノンってのは弁証法と背理法の使い手だから、この問題ってのは、数学の問題ではなくて、論理学の問題なのね。
この問題を解くには、何がおかしいのか、もう一度、定義を確認する必要がある。「距離、速度、時間」、この中で、速度ってのは「距離÷時間」だから、結局、距離と時間の定義って何？を考えてみたらいい。で、距離ってのは「2点間の隔たり」、これはいいとしよう。では、この問題でいう「時間」とは何だろう？ 誰かちゃんと定義できる? 考えて見れば「時間」ってのはあまりに常識的なモノとして分かったつもりになっているけど、じゃあ、論理学的に厳密に定義してみろ、というと、誰もやったことないんじゃないの？ つまり、時間ってモノを感覚的に分かっている気になっているのが、この問題の最大の盲点っていうか錯覚なのである。基本となる2つの概念の定義のうち、1つが未定義なんだから、問題が解けるハズがないじゃん。なんでそこに誰も2000年以上気がつかなかったのかねえ？
ってわけで、一応、俺としては、この問題の「時間の定義」を行うことで、この問題に決着をつけた。この問題をマトモに解いた人間って、俺が初めてじゃねえの？ 考え始めてから30分はかかっちゃったけどね。えっ、「時間をどう定義したのか」って？ そこまで答え言っちゃうと、他の人の楽しみがなくなっちゃうだろ? それは自分で考えてね。中学校までで習う、算数と数学と理科と物理の知識だけで解けるよ。
んなとこｗ
(このブログは一般向けの内容をそのまま転載したものです)
